George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor |
Em 1872 Cantor foi promovido a professor Extraordinário em Halle e neste ano tornou-se amigo de Dedekind que ele conheceu num feriado passado na Suíça. Cantor publicou um artigo sobre séries trigonométricas em 1872 na qual ele define um número irracional em termos de seqüências convergentes de números racionais. Por outro lado, neste mesmo ano, Dedekind publicou sua definição de números reais como "cortes de Dedekind" e no seu artigo ele faz referência ao artigo que tinha recebido de Cantor.
Em 1873 Cantor provou que o conjunto dos racionais é contável, isto é, que pode ser posto em correspondência um para um com os números naturais. Ele também mostrou que os números algébricos, números que são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros, também são contáveis. No entanto sua tentativa para provar que os reais eram contáveis se mostrou um pouco mais difícil. Ele provou que os números reais não eram contáveis em dezembro de 1873 e publicou isto num artigo de 1874. Neste artigo a idéia de uma correspondência um para um aparece pela primeira vez, mas somente implícita no trabalho.
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