CNV-Racionais: Lucas Elias

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terça-feira, 1 de março de 2011

Números Racionais '-'

Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre doisnúmeros inteiros.

O conjunto dos números racionais (representado por $\,\!\mathbb{Q}$ , o uso da letra $\,\!\mathbb{Q}$ é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros, com o denominador diferente de 0) é definido por:

$\mathbb{Q}=\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}\end{matrix}\,|\,a\in\mathbb{Z}\,;\,b\in\mathbb{Z^{*}}\right\}$ Lê-se Q igual a "a" sobre (ou dividido) "b", tal que "a" pertence ao conjunto dos numeros inteiros e "b" pertence ao conjunto dos numeros inteiros. Onde $\mathbb{Z}$ é o conjunto dos números inteiros e $\mathbb{Z^{*}}$ o conjunto dos números inteiros excluindo o 0.

Exemplos de números racionais: $\,\!\begin{matrix}\frac{5}{8}\end{matrix}$ ; $\,\!7{,}5$ ; $\,\!-9$ ; $\,\!3\begin{matrix}\frac{5}{8}\end{matrix}$ ; $\,\!\sqrt[2]{4}$ ; $\,\!-\begin{matrix}\frac{6}{7}\end{matrix}$ .

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Os números racionais opõem-se aos números irracionais ( $\,\!\mathbb{I}$ ).

Para representar o conjunto dos racionais positivos podemos usar Q ₊ e para representar o conjunto dos números racionais negativos podemos utilizar Q_-. O número zero também faz parte do conjunto dos racionais.

Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias),números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos:

Fração: $\,\!\begin{matrix}\frac{7}{5}\end{matrix}$ ;
Número misto: 5 $\,\!\begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix}$ ;
Números decimais de escrita finita: 8,35;
Dízimas: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965);

nesta notação os números entre parênteses repetem-se ao infinito.

sexta-feira, 25 de fevereiro de 2011

Tipos de decimais.

Decimais

Decimais exatos

$\frac{1}{2}$ = $0,5 \,\!$

$\frac{1}{5}$ = $0,2 \,\!$

Decimais periódicos

$\frac{5}{3}$ = $1,66... \,\!$ (a)

$\frac{7}{6}$ = $1,166... \,\!$ (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Tipos de frações.

Tipos de frações

própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: $\frac{1}{2}$
imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: $\frac{7}{3}$
mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2 \frac{1}{3}$
aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: $\frac{12}{4}$
equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: $\frac{9}{22}$
unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: $\frac{1}{3}$
egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}$

decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: $\frac{437}{100}$
composta: fração cujo numerador e denominador são frações: $\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}$
contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a 0, a 1, a 2, a 3,..., a k,...)$ da seguinte maneira $a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}.$
Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Exercício com frações e decimais.

1. Qual é a alternativa que representa a fração 9/2 em números decimais?

a. 3,333

b. 4,25

c. 5,01

d. 4,5

2. Qual é a alternativa que representa a fração 35/1000 em números decimais?

a. 0,35

b. 3,5

c. 0,035

d. 35

3. Qual é a alternativa que representa o número 0,65 na forma de fração?

a. 65/10

b. 65/100

c. 65/1000

d. 65/10000

4. Observe as frações e suas respectivas representações decimais.

I. 3/1000 = 0,003

II. 2367/100 = 23,67

III. 129/10000 = 0,0129

IV. 267/10 = 2,67

quarta-feira, 23 de fevereiro de 2011

Matemático dos números racionais.

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Em 1872 Cantor foi promovido a professor Extraordinário em Halle e neste ano tornou-se amigo de Dedekind que ele conheceu num feriado passado na Suíça. Cantor publicou um artigo sobre séries trigonométricas em 1872 na qual ele define um número irracional em termos de seqüências convergentes de números racionais. Por outro lado, neste mesmo ano, Dedekind publicou sua definição de números reais como "cortes de Dedekind" e no seu artigo ele faz referência ao artigo que tinha recebido de Cantor.

Em 1873 Cantor provou que o conjunto dos racionais é contável, isto é, que pode ser posto em correspondência um para um com os números naturais. Ele também mostrou que os números algébricos, números que são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros, também são contáveis. No entanto sua tentativa para provar que os reais eram contáveis se mostrou um pouco mais difícil. Ele provou que os números reais não eram contáveis em dezembro de 1873 e publicou isto num artigo de 1874. Neste artigo a idéia de uma correspondência um para um aparece pela primeira vez, mas somente implícita no trabalho.